Новомосковськ. ЗЗСО № 1

   







Класна оцінка

Міністерство oсвіти і науки, молоді та спорту України
Педагогічна преса Національна дитяча гаряча лінія

Факультативна робота з математики у 7 класі

Тема:   Задачі на побудову.

 Дидактична мета: Ознайомити з задачами на побудову трикутника та осмислити їх побудову. Засвоїти аналіз трикутника за допомогою готових креслень.

Розвиваюча  мета:  Формувати уміння учнів  застосовувати знання про властивості  трикутників в різних нестандартних ситуаціях.

Виховна  мета: "Не можна зашкодити істині більше, ніж бажанням побудувати її на хибних умовиводах." П. Мопертюї

Прилади та обладнання: дидактичний матеріал з теми, креслярські інструменти, наочність з теми, дротяні моделі трикутників різних видів.

Хід  заняття

1.                    Організаційний момент.

Література для самостійного опрацювання:

1.                Кельбас.М.П. Геометрія. Пробний підручник для 7-9 класів. К.: Освіта – 1994.

2.                Погорєлов. А.В. Геометрія: навчальний посібник для учнів середньої школи 7- 9 класи. К.: Освіта – 1994

3.                Александров А. Д., Вернер А. Л., Рижик В. Й. Геометрия: Проб, учеб. для 7  класса сред. шк.— М.: Просвещение,1985.— 192 с.

4.                Александров А. Д., Вернер А. Л., Рижик В. Й. Геометрия: Проб, учеб. для 8 класса сред. шк.— М.: Просвещение, 1986.— 192 с.

5.                Кушнір ІЛ. Властивості трикутників, сторони яких утворюють арифметичну прогресію // У світі математики. — 1974. — № 5. — С152 - 157.

6.                Шаригін И.Ф. Задачи по геометрии ( планиметрия ). — М. Наука, 1986. - 224 с.

7.                Марнянський І, А. Аксіоми — для чого вони?—К. : Рад. шк., 1986.— 111 с.

8.                Габович Й.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач.—К. : Рад. шк., 1989.—160 с.

«Завдання математики не навчання лічби, а навчання  прийомів людського мислення під час лічби».                                                   

Л.М. Толстой

"Книга – добрий плуг, який повільно, але неухильно піднімає шар за шаром."

                                                                                                   О.Ю. Шмідт

Повідомлення часу та місця і умови  проведення факультативного заняття.

Повідомлення про правила  ведення записів у зошитах для факультативних занять.

Повідомлення теми факультативного заняття та запис її на дошці.

 Розподіл учнів на групи.

2.                Мотивація вивчення нових знань.

Геометричне зображення, або, як говорять, геометрична індукція, відіграє велику роль у дослідницькій роботі майже в усіх розділах математики, навіть найвідповідальніших.                                          

  А.М. Колмогоров

3.                Осмислення нових знань.

     Задачі на побудову

1. Аналіз задачі зводиться до складання плану її розв`язування, тобто встановлення послідовності виконання елементарних побудов, в результаті яких буде розв`язана задача. Якщо послідовність виконання елементарних

побудов відома, потреба в аналізі задачі відпадає. Отже, аналіз задачі на побудову є пошуком шляхів розв`язання задачі.

2. Побудова є власне фактичним виконанням намічених в аналізі елементарних   побудов (проведення прямих та побудова кіл) у певній послідовності певними  інструментами побудов.

  3. Мета доведення - показати, що виконання побудови справді відповідають умові задачі.

  4. Дослідження-це встановлення при яких умовах задачі має розв`язок і скільки їх може бути.

   Сказане пояснення на такому приладі.

   Задача 1. Побудувати трикутник за основою, кутом при вершині і медіаною, проведеною до бічної сторони .

    Розв’язання.

Аналіз. Для побудови трикутника треба побудувати три точки – його вершини. Заданий відрізок є основою трикутника, визначає дві його вершини А і С ; третя вершина В, з якої відрізок АС видно під даним кутом   , визначає множину точок-дуги сегментів, що спираються на даний відрізок АС і вміщують даний кут . Нехай точка Е-середина сторони АС шуканого трикутника, а точка D - середина сторони ВС. Тоді [ED] –середня лінія трикутника АВС ,тому [ED] || [AB] і кут EDC матиме величину . Отже, відрізок EC з точки D видно під кутом  , і точка D належить в множині точок, з яких відрізок ЕC видно під кутом  . З іншого боку точка D належить множині таких точок, які містяться на відстані m (m-довжина заданої медіани) від точки А.Таким чином, точку D знаходимо як спільну точку двох точкових множин.

Побудова. З аналізу випливає така послідовність побудов:

1) на деякій прямій взяти довільну точку А і побудувати відрізок [AC]=а;

2) на відрізку АС побудувати сегмент, що вміщує даний кут ;

3) поділити відрізок АС пополам точкою Е;

4) на відрізку ЕС побудувати сегмент що вміщує той самий кут ;

5) побудувати коло(А,m);

6) відмітити точку D перетину однієї з дуг сегментів, побудованих у п.4,і кола, побудованого в п.5;

7) побудувати пряму CD;

8) відмітити точку В перетину прямої CD з однієї з дуг сегментів,              побудованих у п.2;

9) точки А,В,С визначають шуканий трикутник.

Доведення. Трикутник АВС задовольняє всі умови задачі. Справді є основа АС конгруентна заданому відрізку а за побудовою; кут АВС конгруентний заданому куту , оскільки точка В належить сегменту, що спирається на відрізок АС і вміщує кут ; через те що СDЕ =  за побудовою, [DE] || [AB], але точка Е –середина сторони АС, то точка D буде серединою сторони ВС . Крім того , [AD] =m за побудовою, отже [AD] є медіаною бічної сторони ВС трикутника.

Дослідження. Дослідження умов можливості розв’язання задач і встановлення кількості можливих розв`язків зручно проводити по пунктах побудови. Побудову  1)можна виконати двояко, бо точка А визначає на вибраній прямій два промені, на кожному з яких існує єдина точка С така, що [AC] = a. Отже, можливі два розв’язки, причому побудова точок С і С1  завжди можлива .

Побудову 2) можна виконати завжди і двояко, бо дугу можна побудувати в кожній з півплощин, визначених на площині прямою, на якій міститься відрізок АС, при будь-яких а і <<180. Отже, кожний з двох розв`язків встановлених у 1), дає по два розв`язки виконання побудови  2), всього можливих розв`язків чотири.

Побудова 3) завжди можлива і виконується однозначно. Розв`язків ця побудова не збільшує, їх чотири.

Побудова 4) виконується також  двояко, причому завжди можлива. Кількість розв`язків повинна була б збільшитись, проте цю побудову вже враховано в 2), тому розв`язків залишається чотири.

Побудова 5) завжди можлива і виконується однозначно, кількість розв`язків залишається попередньою.

Побудова 6) залежить від взаємного розташування двох кіл(їх відстані між центрами та суми чи різниці радіусів), причому можливі три випадки: або кола перетинаються і тоді буде дві точки D (кількість розв`язків збільшиться вдвоє і становитиме вісім), або кола дотикаються і точка D буде єдина (кількість розв`язків не зміниться, залишиться попередньою-чотири), або ж кола не мають спільних точок і задача не матиме жодного розв`язку, тобто при таких даних, які забезпечують відсутність спільних точок кіл, накреслених у побудовах 4) і 5), задача неможлива. Отже, можливість розв`язку задачі залежить від взаємного розташування кіл, побудованих у пунктах 4) і 5).

4.        Практична частина заняття.

Завдання для вироблення умінь та навичок використовувати  нерівність трикутника

Завдання для обговорення в групах.

Задачі на побудову прямокутних трикутників


1. Побудуйте прямокутний трикутник за гострим кутом і висотою, опущеною на гіпотенузу.

Розв’язування:

1) Побудуємо дві прямі (a і b), що перетинаються під заданим кутом. Точку їх перетину позначимо А.

 

2) Побудуємо пряму с, яка паралельна прямій а і проходить на відстані h від неї (h – висота, опущена на гіпотенузу). Точку перетину прямих b і с позначимо В. Побудуємо пряму d, перпендикулярну до прямої b, що проходить через точку В.

 

Точку перетину прямих d і а позначимо С. ∆ АВС – шуканий.

 

2. Побудуйте прямокутний трикутник за гострим кутом і медіаною, проведеною до гіпотенузи.

Розв’язування:

Медіана BD прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи дорівнює її половині: BD=1/2*АС. Таким чином, ∆ABD і ∆CBD – рівнобедрені: AD=BD; CD=BD.

1) Побудуємо дві прямі  (a і b), що перетинаються під заданим кутом. Точку їх перетину позначимо А.

 

2) Відкладемо на прямій b відрізки AD і CD, що дорівнюють заданій медіані. Проведемо циркулем коло з центром у точці D і радіусом, що дорівнює заданій медіані. Це коло перетинає пряму а у двох точках, однією з яких є точка А. Сполучивши В і С одержимо шуканий ∆АВС.

 

3. Побудуйте прямокутний трикутник за гіпотенузою і висотою, опущеною на цю гіпотенузу.

Розв’язування:

При побудові використаємо те, що медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює половині цієї гіпотенузи.

Поділимо задану гіпотенузу (АВ на рисунку) пополам і позначимо її середину D.

 

Побудуємо коло з центром у точці D і радіусом AD.

Побудуємо пряму а, що паралельна гіпотенузі АВ і проходить на відстані h від неї (h – задана висота).

 

Сполучивши точки А, В і С одержимо шуканий трикутник. Взагалі пряма а перетинає коло у двох точках (крім випадку коли ця пряма торкається кола). Тоді ∆АВС  буде давати шуканий розв’язок.                    

5.                Підсумок заняття.

Фронтальне опитування

Які основні блоки  розв`язання задач на побудову трикутника?

Як їх використовують?

Які основні пункти у цих задачах?

Подобається